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  7. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)

SEQUÊNCIAS (P.A. E P.G.) - Prof. Tama (Willian Tamashiro)

 

Progressão Aritmética (PA)

Considere dois números reais k e r. Chamamos de Progressão Aritmética (PA) à sequência (an) de modo que:

  • a1 = k;

 

  • an+1 = an  + r  (para qualquer n ∈ N*)

A razão (r) de uma PA é a diferença entre cada termo da PA ( a partir do segundo) e o termo anterior. Assim:

 

r =  an+1 –  an  (para qualquer n ∈ N*)

 

Exemplo: Na PA(3, 7, 11, 15, 19, ...)

a1 = 3;  a2 = 7; a3 = 11; a4 = 15; a5 = 19; 

r = 7 – 3 = 11 – 7 = 15 – 11 = 19 – 15 = ... = 4

 

Classificação da PA

Uma PA pode ser classificada como:

  • Estritamente  crescente, quando r > 0;

Exemplo: (1, 3, 5, 7, 9, ...) ⇔; r = 2

  • Estritamente  decrescente, quando r < 0;

Exemplo: (52, 50, 48, 46, ...) ⇔ r = -2

  • Constante, quando r = 0.

Exemplo: (4, 4, 4, 4, ...)

 

Termo Geral da PA

Seja (an) uma PA com primeiro termo a1 e razão r. Assim:

an = a1 = (n-1).r (para qualquer n ∈ N*)

Se am e an são termos quaisquer de uma PA, de modo que m > n, então:

am = an + (m - n).r

 

Exemplo: Determine o vigésimo termo da PA(2, 7, 12, 17, …)

Resolução: Nessa PA, a1 = 2 e r = 7 – 2 = 5. Devemos determinar a20. Para isso, vamos utilizar a fórmula do termo geral:

a20 = a1 + (20 – 1) .r

a20 = 2 + 19.5

a20 = 97

 

Exemplo: Determine a razão de uma PA em que a14 = 55 e a18 = 71.

Resolução:

Para determinar a razão, vamos utilizar a fórmula do termo geral:

am = an + (m - n).r

a18 = a14 + (18 - 14).r

71 = 55 + 4r

4r = 16

r = 4

 

Exemplo: (Mack) O enésimo termo da PA 1,87; 3,14; 4,41; ... é:

a) 1,27n2 + 0,6                  b) 1,27n + 0,6                    c) 1,27 + 0,6n    

d) 1,27 - 0,6n                     e) 1,27 + n

 

Resolução:

Do enunciado, a1 = 1,87 e r = 3,14 – 1,87 = 4,41 – 3,14 = 1,27.

Utilizando a fórmula do termo geral, tem-se:

an = a1 + (n – 1).r

an = 1,87 + (n – 1).1,27

an = 1,87 + 1,27n - 1,27

an = 1,27n + 0,6

Alternativa B.

  

 

Termos Equidistantes dos extremos

Considere uma PA (an). Nessa PA, dois termos são equidistantes dos extremos se o número de termos que precede um deles é igual ao número de termos que sucede o outro.

a1, ......... , ap, .........., aq, .........., an

Se ap e aq são termos equidistantes de a1 e an, tem-se que:

p – 1 = n - q  ⇒ p + q = 1 + n

 

Propriedade dos Termos Equidistantes dos extremos de uma PA

Em uma PA (ande razão r, se ap e aq são termos equidistantes de a1 e an, respectivamente, tem-se que:

ap + aq = a1 + an

 

Exemplo: Em uma PA de 58 termos, a1 + a58 = 480. Determine o valor de a12 + a47 .

Resolução:

Note que: 1 + 58 = 12 + 47

termos equidistantes PA

Assim, podemos concluir que a12 e a47  são termos equidistantes de  a1 e a58, respectivamente. Portanto:

a12 + a47 = a1 + a58 = 480.

 

Propriedade do termo central

Se ap (p ≥ 2) é um termo de uma PA de razão r, e k é um número natural de modo que p – k ≥ 1, tem-se que:

termo central

 

Exemplo: (MACK) O valor de r para que a sequência (r – 1, 3r – 1, r – 3, ...) seja uma PA é:

a) -1       b) -0,5   c) 1        d) 0,5     e) 2

Resolução:

Pela propriedade do termo central, tem-se que:

 termo central

Alternativa B.

 

Soma dos n primeiros termos de uma PA

Sendo (an) uma PA e Sn a soma dos n primeiros termos, tem-se que:

 soma dos termos da PA

 

Exemplo: (OSEC) A soma dos dez primeiros uma PA de primeiro termo 1,87 e de razão 0,004 é:

a) 18,88               b) 9,5644             c) 9,56741           d) 18,9  e) 21,3

Resolução:

Primeiro, vamos determinar a10 utilizando a fórmula do termo geral:

a10 = a1 + 9r

a10 = 1,87 + 9.0,004

a10 = 1,906

Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, temos:

 soma dos termos da PA

 

Alternativa A.

 

 Resolução dos Exercícios da lista

 

1) (UNESP) Um viveiro clandestino com quase trezentos pássaros foi encontrado por autoridades ambientais. Pretende-se soltar esses pássaros seguindo um cronograma, de acordo com uma progressão aritmética, de modo que no primeiro dia sejam soltos cinco pássaros, no segundo dia sete pássaros, no terceiro nove, e assim por diante. Quantos pássaros serão soltos no décimo quinto dia? 

a) 55.     b) 43.     c) 33.     d) 32.     e) 30.

Resolução: Do enunciado, tem-se uma PA de termos (5, 7, 9, ...), de modo que, a1 = 5 e r = 7 – 5 = 2. devemos determinar a15.

Utilizando a fórmula do termo geral, temos:

an = a1 + (n-1).r  

a15 = a1 + (15 - 1).r

a15 = 5 + 14.2

a15 = 33

 

2) Determine o primeiro termo e a razão de uma PA em que o 7º termo é 4 e o 11º termo é 16.  

Resolução: Do enunciado a7 = 4 e a11 = 16. Devemos determinar r e a1.

Vamos utilizar a fórmula do termo geral para determinar primeiro a razão r:

am = an + (m-n).r

a11 =  a7 + (11-7).r

16 = 4 + 4r

4r = 12

r = 3

Utilizando novamente a fórmula do termo geral para determinar a1, tem-se:

a11 = a1 + (11 - 1).r

16 = a1 + 10.3

a1 = 16 -30

a1 = -14

 

3) Interpolando 7 termos entre 10 e 98, obtém-se uma PA em que o quinto termo vale:

a) 45.     b) 52.     c) 54.     d) 55.     e) 57.

Resolução: Interpolando 7 termos entre 10 e 98, tem-se que a1 = 10 e a9 = 98.

 interpolação de termos em uma PA

Note que a5 é equidistante de a1 e a9.

 termo central

Assim:

 termo central

 

4) (UFSC) Numa PA de n termos, a soma do primeiro termo com o de ordem n é 120. A soma do sexto termo com o de ordem n - 5 é:

 a) 120     b) 60n     c) 90     d) 120(n+1)/n    e) 120n

 

Resolução: Do enunciado, a1 + an = 120

Devemos determinar: a6 + an-5 = ?

Pela figura abaixo podemos verificar que os termos a6 e an-5 são termos equidistantes de a1 e an, respectivamente.  

  termos equidistantes PA

Assim:

a1 + an = a6 + an-5 = 120

 

5) (UNIFESP) Uma pessoa resolveu fazer sua caminhada matinal, passando a percorrer a cada dia 100 metros mais do que no dia anterior. Ao completar o 21° dia de caminhada observou ter percorrido nesse dia 6 000 metros. A distância total percorrida 21 dias foi de:

a) 125 500 m      b) 105 000 m      c) 90 000 m

d) 87 500 m        e) 80 000 m

 

Resolução: Do enunciado, a razão da PA é 100 metros e a21 = 6 000.

Devemos determinar o primeiro termo para, em seguida, determinar a distância total percorrida que corresponde à soma dos 21 primeiros termos da PA. Utilizando a fórmula do termo geral tem-se:

a21 = a1 + 20.r

6000 = a1 + 20.100

a1 = 4000

utilizando a fórmula da soma, tem-se:

 soma dos termos da PA

 

6) Para ver a resolução dessa questão, acesse o vídeo em "mídias".

7) Para ver a resolução dessa questão, acesse o vídeo em "mídias".

8) Para ver a resolução dessa questão, acesse o vídeo em "mídias".

9) Para ver a resolução dessa questão, acesse o vídeo em "mídias".

10) Para ver a resolução dessa questão, acesse o vídeo em "mídias".

 

11) (AFA) Os ângulos internos de um pentágono são os cinco primeiros termos de uma progressão aritmética. O 3° termo, em graus, dessa progressão vale:

a) 54      b) 108      c) 162       d)216      e) 184

Resolução:

Do enunciado, a1, a2, a3, a4 e a5 são termos de uma PA e são as medidas dos ângulos internos de um pentágono. Da geometria, a soma dos ângulos internos de um pentágono, pode ser determinado pela fórmula:

S = (n – 2).180°  (Para assistir ao vídeo da aula de polígonos, clique AQUI!)

S = (5 – 2).180°

S =  540°

A soma dos 5 primeiros termos de uma PA pode ser determinado pela fórmula:

 soma dos termos da PA

 

Pela propriedade do termo central, tem-se que:

 soma dos termos da PA

 

Alternativa B

 

12. (UECE) O maior valor da razão de uma progressão aritmética para que os números 7, 23 e 43 sejam três de seus termos é:

a) 4      b) 16      c) 2      d) 8

Resolução: Se os números 7, 23 e 43 são termos de uma PA de razão r, as diferenças entre esses valores devem ser múltiplos de um mesmo número, que é a razão dessa PA. Como o exercício pede para determinar o maior valor da razão, devemos determinar o mdc das diferenças. Assim, primeiro, vamos determinar as diferenças:

43 – 23 = 20 = 4 . 5

43 – 7 = 36 = 4 . 9

23 – 7 = 16 = 4 . 4

Assim, o mdc (16, 20, 36) = 4

Portanto, o maior valor para a razão dessa PA é 4. 

Alternativa A

 

13. (F.F. Recife) Se os ângulo internos de um triângulo estão em P.A. e o menor deles é a metade do maior, então o maior mede:

a) 60°      b) 80°      c) 70°      d) 50°      e) 40°

Resolução:

Seja a PA(a, b, c) de modo que a, b e c, sejam os ângulos internos de um triângulo.

Do enunciado:  metade (I).

Da geometria:

a+b+c=180° ⇒ b = 180° - a – c ⇒ 2b = 360° - 2a – 2c (II).

Dos conceitos de PA, o termo central é a média aritmética dos extremos. Assim:

  media (III)

Substituindo as equações (I) e (II) em (III), tem-se:

360° - 2a – 2c = a + c  3a + 3c = 360° 

 soma

 

 

  

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Prof. Tama