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SEQUÊNCIAS (P.A. E P.G.) - Prof. Tama (Willian Tamashiro)

Progressão Geométrica

Considere os números reais k e q. Chama-se Progressão Geométrica (PG) a sequência (an), de modo que:

a1 = k

an+1 = an × q  (para qualquer n ∈ N*)

Assim, cada termo da PG, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por q, que é chamado razão da PG. Portanto, para a1 ≠ 0 e q ≠ 0, tem-se:

razão PG (para qualquer n ∈ N*)

Exemplo:

Na PG(1, 2, 4, 8, 16, ...):

a1 = 1; a2 = 2; a3 = 4; a4 = 8; a5 = 16

 razão PG

 

Classificação das Progressões Geométricas (PG)

Considere uma PG (an):

    • Se “a1 > 0 e q > 1” ou “a1 < 0 e 0 < q < 1” ⇔ (an) é estritamente crescente;
    • Se “a1 > 0 e 0 < q < 1” ou “a1 < 0 e q > 1” ⇔ (an) é estritamente decrescente;
    • Se a1 ≠ 0 e q =1 ⇔ (an) é constante;
    • Se a1 = 0 ou q =0 ⇔ (an) é singular;
    • Se a1 ≠ 0 e q < 0 ⇔ (an) é alternante;

 

Exemplo:

(PUC) Se a razão de uma PG é maior que 1 e o primeiro termo é negativo, a PG é chamada

a) decrescente  

b) crescente  

c) constante  

d) alternante  

e) singular

Resolução

Se q > 1 e a1 < 0 a PG é estritamente decrescente.

Vamos imaginar uma PG com q = 2 e a1 = -1:

PG(-1, -2, -4, -8, -16, ...)

Alternativa A

 

Termo geral da PG

Seja (an) uma PG com primeiro termo a1 e razão q. Podemos verificar que:

  • a2 = a1 . q
  • a3 = a2 . q = a1 . q2
  • a4 = a3 . q = a2 . q2 = a1 . q3

Generalizando:

an = a1 . qn-1  (para qualquer n  N*)

Se ap e aq são termos de uma mesma PG, verifica-se que:

ap = aq . qp-q

 

Exemplo:

(FGV) Uma pintura de grande importância histórica foi comprada em 1902 por 100 dólares, e, a partir de então, seu valor tem dobrado a cada 10 anos. O valor dessa pintura, em 2002, era de:

a) 100 000 dólares  

b) 200 000 dólares  

c) 51 200 dólares  

d) 102 400 dólares  

e) 150 000 dólares

Resolução:

Do enunciado, a1 = 100 e q = 2. O valor será dobrado a cada 10 anos:

1902(a1)-1912-1922-1932-1942(a5)-1952-1962-1972-1982-1992-2002(a11)

Note que, o valor em 2012, será o 11° termo da PG. Assim:

a11 = a1 . q10

a11 = 100 . 210

a11 = 102 400

Alternativa D.

 

Exemplo:

(CEFET-PR) Em uma progressão geométrica, o quinto termo é 24 e o oitavo termo é 3. A razão entre o sexto e o décimo termo é:

 a) 4    b) 8     c) 1/8   d) 16 e) 1/16

Resolução:

Do enunciado, a5 = 24 e a8 = 3. Aplicando a fórmula do termo geral:

a8 = a5 . q8-5

3 = 24 . q3

  razão PG

Aplicando novamente a fórmula do termo geral:

a10 = a6 . q10-6

 a6 sobre a10

Propriedade de três termos consecutivos de uma PG

Considere três termos consecutivos ap-1, ap e ap+1 de uma PG (an) em que q0 e a10. Pode-se verificar que:

ap = ap-1 . q  (I)

ap+1 = ap . q  (II)

 

Dividindo as equações (I) e (II):

 termo central

 

“O termo central de 3 termos consecutivos de uma PG é média geométrica

do termo que o antecede e o termo que o sucede.”

 

Termos equidistantes dos extremos de uma PG

Considere uma PG (an). Nessa PG, dois termos são equidistantes dos extremos se o número de termos que precede um deles é igual ao número de termos que sucede o outro.

a1, ......... , ap, .........., at, .........., an

Se ap e at são termos equidistantes de a1 e an, tem-se que:

p – 1 = n - t  ⇒ p + t = 1 + n

 

Propriedade dos termos equidistantes dos extremos de uma PG

Em uma PG (an) de razão q, se ap e at são termos equidistantes de a1 e an, respectivamente, tem-se que:

ap × at = a1 × an

 

Exemplo: Considere a seguinte PG:

(2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024)

Note que: a1 . a10 = a2 . a9 = a3 . a8 = a4 . a7 = a5 . a6

a1 . a10 = 4.512 = 8.256= 16.128 = 32.64 = 2048

 

Produto dos n primeiros termos de uma PG

Em uma PG (an), o produto (Pn) dos n primeiros termos será igual a:

 produto termos PG

Exemplo: Calcule o produto do 10 primeiros termos da PG(2, 4, 8, 16, ...)

Resolução: Aplicando a fórmula do termo geral:

a10 = a1 × q10-1

a10 = 2 × 29

a10 = 210

Aplicando a fórmula do produto:

produto termos PG exercício 

 

 

 

 

 

Em construção!!

 

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Prof. Tama