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  7. AULA 7 - OUTRA FORMA DE OBTER UMA EQUAÇÃO DE RETA

GEOMETRIA ANALÍTICA - Prof. Tama (Willian Tamashiro)

outra forma de obter equacao de reta

Na aula #5 vimos como determinar as equações através da equação fundamental. Nesse vídeo, veremos uma outra forma de se obter a equação de reta. Se você preferir, estude pelo texto abaixo.

Condição de Alinhamento de 3 pontos

É possível verificar algebricamente se 3 pontos estão alinhados ou não. Para isso é necessário recorrer à uma ferramente da algebra, o cálculo de determinantes. Para fazer essa verificação, siga as seguintes etapas:

❶ Insira os e pares ordenados nas duas primeiras colunas de uma matriz;

❷ Complete a última coluna com o número 1;

❸ Calculo o valor do determinante.

 

       » Se o determinante for igual a zero, significa que os 3 pontos estão alinhados.

       » Se for qualquer valor diferente de zero, os pontos não estão alinhados.

 

Vamos trabalhar com exemplos numéricos para facilitar o entendimento.

Exemplo 1: Verifique se os pontos A(1, 3), B(5, 8) e C(-3, -2) estão alinhados.

Resolução: Vamos montar uma matriz M com esses 3 pares ordenados:

  

matriz, pares ordenados, determinante, alinhamento

 

Note que as abscissas dos pares ordenados são colocados na 1° coluna e as ordenadas, na 2 ° coluna. A 3° coluna é completada com o número 1.

matriz, pares ordenados, determinante, alinhamento

Para calcular o valor do determinante, vamos utilizar o método de Sarrus. Primeiro, copiamos a 1° e 2° coluna. 

 matriz, pares ordenados, determinante, alinhamento

 

Em seguida, calculamos os valores das diagonais principais...

matriz, pares ordenados, determinante, alinhamento

e os valores das diagonais secundárias:

matriz, pares ordenados, determinante, alinhamento

O determinante da matriz M será: det M = (8 - 9 - 10) - (-24 - 2 + 15) = 0. Como det M = 0, os pontos A, B e C estão alinhados.

 

 

Exemplo 2: Verifique se os pontos P(0, 0), Q(3, 4) e S(7, 8) estão alinhados.

Resolução: Vamos montar uma matriz T com esses 3 pares ordenados:

 matriz, pares ordenados, determinante, alinhamento, sarrus

Note que as abscissas dos pares ordenados são colocados na 1° coluna e as ordenadas, na 2 ° coluna. A 3° coluna é completada com o número 1.

matriz, pares ordenados, determinante, alinhamento, sarrus

Para calcular o valor do determinante, vamos utilizar o método de Sarrus. Primeiro, copiamos a 1° e 2° coluna. 

matriz, pares ordenados, determinante, alinhamento, sarrus

Em seguida, calculamos os valores das diagonais principais...

matriz, pares ordenados, determinante, alinhamento, sarrus

e os valores das diagonais secundárias:

 matriz, pares ordenados, determinante, alinhamento, sarrus

O determinante da matriz T será: det T = (0 + 0 + 24) - (28 + 0 + 0) = -4. Como det M ≠ 0, os pontos P, Q e S não estão alinhados.

 

Como obter uma equação de reta utilizando determinantes?

Você viu, em nossa aula número 5 (http://enemex-matematica.com.br/estudos/geometria/geometria-analitica/aula-5-equacao-da-reta) que, uma das formas de se obter uma equação de reta é utilizando a equação fundamental da reta. 

matriz, pares ordenados, determinante, alinhamento, sarrus, equação, fundamental

Agora, vamos ver como uma equação pode ser obtida utilizando o cálculo de determinantes.

Imagine uma reta r que passa pelos pontos A(-1;-3) e B(4;5). 

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Vamos considerar um outro ponto de par ordenado (x;y) dessa reta. 

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Inserindo esses 3 pares ordenados em uma matriz K, o det K = 0, pois, se os pontos estão sobre a reta r, então eles estão alinhados. Assim:  matriz, pares ordenados, determinante, alinhamento, sarrus, equação, fundamental

Para utilizar o método de Sarrus, devemos copiar as duas primeiras colunas...

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... e, seguida, calcular o valor das diagonais principas e secundarias:

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Como o determinante dessa matriz deve ser igual a zero, temos:

(-5 - 3x + 4y) - (5x - y - 12) = 0

-5 - 3x + 4y - 5x + y + 12 = 0

-8x + 5y + 7 = 0

ou

8x - 5y - 7 = 0

 

 

Obrigado por nos prestigiar!

Acesse o link ver assitir a resolução de uma questão desse assunto em uma prova da olímpiada de matemática.

http://enemex-matematica.com.br/estudos/resolucoes/olimpiada-de-matematica/obm-1

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Prof. Tama