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  7. AULA 4 - SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ARCO

TRIGONOMETRIA - Prof. Tama (Willian Tamashiro)

Seno e Cosseno de um Arco

Considere um arco de medida α (alfa) no círculo trigonométrico. A partir desse arco, é possível construir um triângulo retângulo com catetos medindo x e y, e hipotenusa de medida igual a 1, pois o raio do círculo trigonométrico é unitário: 

 

Utilizando as relações trigonométricas nos triângulos retângulo (ver aula), podemos verificar que:

sen_cos_tg_arco

Assim, podemos definir a abscissa de α (alfa) como cosα e a ordenada de α (alfa) como senα:

 sen_cos_tg_arco

 


Observação: lembre-se que os valores dos eixos cartesianos que estão acima e à direita da origem são positivos ...

 sinais nos eixos cartesianos

... e os valores que estão abaixo e à esquerda da origem são negativos.

sinais nos eixos cartesianos 


Assim, se o ângulo α (alfa) está no 1° quadrante, tem-se que senα > 0 (positivo) e cosα > 0 (positivo).

Utilizando os mesmos conceitos de coordenadas, podemos verificar que:

se o ângulo α (alfa) estiver no 2° quadrante tem-se que senα > 0 (positivo) e cosα < 0 (negativo).

sen_cos_tg_arco

  se o ângulo α (alfa) estiver no 3° quadrante,  tem-se que senα < 0 (negativo) e cosα < 0 (negativo).

sen_cos_tg_arco_3_quadrante

  se o ângulo α (alfa) estiver no 4° quadrante,  tem-se que senα < 0 (negativo) e cosα > 0 (positivo).

sen_cos_tg_arco_4_quadrante

Resumindo:

o seno dos arcos é positivo nos quadrantes 1 e 2 e, negativo, nos quadrantes 3 e 4.

regra de sinais do seno

 o cosseno dos arcos é positivo nos quadrantes 1 e 4 e, negativo, nos quadrantes 2 e 3.

sinais do cosseno

 

Para os arcos de 0, 90°, 180°, 270°, 360° e seus côngruos, os valores dos senos e cossenos serão:

 sen_cos_tg_arco

tabela_sen_cos

 

 Tangente de um Arco

 Para representar a tangente de um arco de medida α (alfa) precisamos construir um terceiro eixo que passa pela origem dos arcos e é paralelo ao eixo dos senos. A origem dos arcos também será a origem desse novo eixo. Assim, os valores que estão acima dessa origem serão positivos e os valores que estão abaixo, negativos.

eixo das tangentes

 

Considere um segmento de reta cujas extremidades coincidem com o centro do círculo trigonométrico e o arco. Para representar o valor da tangente dos arcos devemos prolongar esse segmento de reta, até cruzar com o eixo das tangentes. Assim, podemos verificar que o valor da tangente de um arco do 1° quadrante será positivo (tgα > 0)

tangente de um arco do 1° quadrante

Para os arcos do 2° quadrante, os valores das tangentes serão negativos (tgα < 0).

tangente de um arco do 2° quadrante

Para os arcos do 3° quadrante, os valores das tangentes serão positivos (tgα > 0).

tangente de um arco do 3° quadrante

Para os arcos do 4° quadrante, os valores das tangentes serão negativos (tgα < 0).

tangente de um arco do 4° quadrante

Assim, podemos verificar a seguinte tabela de valores:

 tabela com valores da tangente

 

Aplicação

Agora, vamos reunir todos esses conceitos e resolver um problema prático. Qual deve ser o valor do seno, do cosseno e da tangente de 240°?

➀ Vamos fazer as representações desses valores:

sen_cos_tg_de 240°

Note que:

sen240° < 0;

✏ cos240° < 0;

✏ tg240° > 0;

 

Agora, devemos verificar qual é o simétrico de 240° no primeiro quadrante. Na aula 3 (ver aula) verificamos que o simétrico de 240°, no 1° quandrante, é o arco de 60°.

sen_cos_tg_de 240°

 

Como os arcos de 240° e 60° são simétricos, podemos comparar os valores dos senos, cossenos e das tangentes. Assim, podemos concluir que:

sen240° = - sen60°

 cos240° = - cos60°

 tg240° = tg60°

Portanto:

sen_cos_tg_de 240°

 

Você pode assistir a aula 9, (ver aula) da geometria plana, para verificar de onde vem os valores dos senos, cossenos e tangentes dos ângulos de 30°, 45° e 60°.  

 

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Você conhece os pontos notáveis do triângulo? Acesse e confira!

http://enemex-matematica.com.br/estudos/geometria/geometria-plana/aula-8-pontos-notaveis-do-triangulo

 

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Prof. Tama