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  7. AULA 7 - GRÁFICOS DAS FUNÇÕES SENO, COSSENO E TANGENTE

TRIGONOMETRIA - Prof. Tama (Willian Tamashiro)

Gráficos das funções seno, cosseno e tangente

 O objetivo dessa aula é estudar os gráficos das funções seno, cosseno, tangente e também, as sua variações. Iremos, inicialmente, trabalhar com os gráficos da função seno. Em seguida, veremos que as conclusões obtidas a partir desses gráficos poderão ser aplicadas nas funções cosseno e tangente.

 

Função Seno 

O gráfico da função f: ℜ→ ℜ , tal que f(x)=senx, pode ser determinado a partir de alguns pontos. Esses pontos (valores) podem ser retirados da tabela abaixo, obtida na aula 4 (ver aula) de trigonometria e na aula 9 (ver aula), da geometria plana.

 tab_seno

grafico_funcao_senx

Observe que esse gráfico foi construído com alguns pontos de x ∈ [-π ; 3π]. Esse gráfico é chamado de senóide. Observe que:

✓ Os máximos e mínimos da função são 1 e -1, respectivamente. Assim, o conjunto imagem da função será [-1 ; 1], que é diferente do seu contra domínio (ℜ) ,por isso, a função não é sobrejetiva; 

✓ Valores distintos de x estão associados à uma mesma imagem, como por exemplo, f(0)=f(π)=0. Assim, a função não é injetiva.

✓ O período (variação do x necessária para completar 1 ciclo) da função é 2π;

✓ A amplitude (A) de um gráfico é a metade da diferença entre a ordenada máxima (1) e a ordenada mínima (-1). Nesse caso a amplitude será 1.

✓ Para [0; π/2], ou seja, no 1º quadrante, o valor de sen(x) cresce de 0 a 1.

✓ Para [π/2; π], ou seja, no 2º quadrante, o valor de sen(x) decresce de 1 a 0.

✓ Para [π; 3π/2] , ou seja, no 3º quadrante, o valor de sen(x) decresce de 0 a -1.

✓ Para  [3π/2; 2π], ou seja, no 4º quadrante, o valor de sen(x) cresce de -1 a 0.

 

Funções do tipo y = senx + k (k>0)

Vamos analisar o gráfico da função y = sen(x) + 2.

Vamos construir uma tabela de valores:

 tabela_senx+2

Agora, vamos construir os gráficos das duas funções e compará-los:

 grafico_funcao_senx+2

 

O gráfico da função y = senx + 2 será deslocado 2 unidades para cima, em relação à função y = senx. Além disso:

  • D = ℜ
  • Im=[1, 3]
  • T = 2π
  • A = 1

Resumindo: o gráfico da função y =  senx + k  será transladado k unidades na vertical, para cima, em relação à função y = senx. O conjunto imagem dessa função será: 

  • Im=[-1+k, 1+k]

 

Funções do tipo y = senx - k (k>0)

 

Vamos analisar o gráfico da função y = sen(x) - 2.

 Vamos construir uma tabela de valores:

 

tabela_senx-2

 Agora, vamos construir os gráficos das duas funções e compará-los:

 

 grafico_funcao_senx-2

O gráfico da função y = senx - 2 será deslocado 2 unidades para baixo, em relação à função y = senx. Além disso:

  • D = ℜ
  • Im=[-3, -1]
  • T = 2π
  • A = 1

Resumindo: o gráfico da função y =  senx - k  será transladado k unidades na vertical, para baixo, em relação à função y = senx. O conjunto imagem dessa função será: 

  • Im=[-1-k, 1-k]

 

 

Funções do tipo y = k.senx

 

Vamos analisar o gráfico da função y = 2.sen(x).

 Vamos construir uma tabela de valores:

 

grafico_funcao_2senx

 Agora, vamos construir os gráficos das duas funções e compará-los:

 grafico_funcao_2senx

 

O gráfico da função y = 2.senx será "esticado" na vertical, em relação à função y = senx. Além disso:

  • D = ℜ
  • Im=[-2, 2]
  • T = 2π
  • A = 2

Resumindo: A amplitude do gráfico de y =  k.senx será "|k|". Assim, o conjunto imagem dessa função será: 

  • Im=[-|k|, |k|]

 

 

Funções do tipo  grafico_senx_k(k≠0)

 

Vamos analisar o gráfico da função senx_2.

 Vamos construir uma tabela de valores:

 

tabela_senx_div_2

 Agora, vamos construir os gráficos das duas funções e compará-los:

  

grafico_funcao_1/2senx

 

O gráfico da função  será "comprimido" na vertical, em relação à função y = senx. Além disso:

  • D = ℜ
  • Im=[-1/2, 1/2]
  • T = 2π
  • A = 1/2

Resumindo: A amplitude do gráfico de   será "1/|k|". Assim, o conjunto imagem dessa função será: 

  • Im=[-1/k, 1/k]

 

 

Funções do tipo y=sen(x+k); (k>0)

 

Vamos analisar o gráfico da função função_sen(x+pi).

 Vamos construir uma tabela de valores:

 

tab_senx+pi

 Agora, vamos construir os gráficos das duas funções e compará-los:

 

 grafico_funcao_sen(x+pi)

O gráfico da função  será deslocado para a esquerda, em relação à função y = senx. Além disso:

  • D = ℜ
  • Im=[-1, 1]
  • T = 2π
  • A = 1

Resumindo: o gráfico da função y=sen(x+k) é transladado k radianos para a esquerda, em relação à função y = senx. 

 

Funções do tipo y = sen(x-k); (k>0)

 

Vamos analisar o gráfico da função função_sen(x-pi).

 Vamos construir uma tabela de valores:

 tab_função_sen(x-pi)

 

 Agora, vamos construir os gráficos das duas funções e compará-los:

 

 grafico_funcao_sen(x-pi)

O gráfico da função  será deslocado para a direita, em relação à função y = senx. Além disso:

  • D = ℜ
  • Im=[-1, 1]
  • T = 2π
  • A = 1

Resumindo: o gráfico da função y=sen(x-k) é deslocado k radianos para a direita, em relação à função y = senx. 

 

Funções do tipo y = sen(k.x)

 

Vamos analisar o gráfico da função y=sen(2x).

 Vamos construir uma tabela de valores:

 tabela_função_sen(2x)

 

 Agora, vamos construir os gráficos das duas funções e compará-los:

 

 grafico_sen(2x)

O gráfico da função  será "comprimido" na horizontal, em relação à função y = senx. Além disso:

  • D = ℜ
  • Im=[-1, 1]
  • T = π
  • A = 1

Resumindo: o gráfico da função  é "comprimido" na horizontal, em relação à função y = senx. O período da função será: T= 2π/|k|

 

Funções do tipo sen(x/k)

 

Vamos analisar o gráfico da função sen(x/2).

 Vamos construir uma tabela de valores:

 tabela_função_sen(x/2)

 

 Agora, vamos construir os gráficos das duas funções e compará-los:

 grafico_sen(x/2)

 

O gráfico da função  será "esticado" na horizontal, em relação à função y = senx. Além disso:

  • D = ℜ
  • Im=[-1, 1]
  • T = 4π
  • A = 1

Resumindo: o gráfico da função sen(x/k) é "esticado" na horizontal, em relação à função y = senx. O período da função será: T= |k|.2π

 

 

Função Cosseno 

O gráfico da função f: ℜ→ ℜ , tal que f(x)=cosx, pode ser determinado a partir de alguns pontos. Esses pontos (valores) podem ser retirados da tabela abaixo, obtida na aula 4 (ver aula) de trigonometria e na aula 9 (ver aula), da geometria plana.

 

tabela_cos

 

grafico_funcao_cosx

Observe que esse gráfico foi construído com alguns pontos de x ∈ [-π ; 3π]. Observe que:

✓ Os máximos e mínimos da função são 1 e -1, respectivamente. Assim, o conjunto imagem da função será [-1 ; 1], que é diferente do seu contra domínio (ℜ) ,por isso, a função não é sobrejetiva; 

✓ Valores distintos de x estão associados à uma mesma imagem, como por exemplo, f(0)=f(2π)=1. Assim, a função não é injetiva.

✓ O período (variação do x necessária para completar 1 ciclo) da função é 2π;

✓ A amplitude de um gráfico é a metade da diferença entre a ordenada máxima (1) e a ordenada mínima (-1). Nesse caso a amplitude será 1.

✓ Para [0; π/2], ou seja, no 1º quadrante, o valor de cos(x) decresce de 1 a 0.

✓ Para [π/2; π], ou seja, no 2º quadrante, o valor de cos(x) decresce de 0 a -1.

✓ Para [π; 3π/2] , ou seja, no 3º quadrante, o valor de cos(x) cresce de -1 a 0.

✓ Para  [3π/2; 2π], ou seja, no 4º quadrante, o valor de cos(x) cresce de 0 a 1.

 

 

Variações da Função Cosseno 

 

gráficos da função cosseno

gráficos da função cosseno

 

 

 

Função Tangente 

O gráfico da função f: ℜ - tangente_existência→ ℜ, tal que f(x)=tgx, pode ser definido da seguinte forma:

gráfico da função tangente

 

Alguns pontos desse gráfico podem ser observados na tabela abaixo, como visto na aula 4 (ver aula).

  

tabela tangente

Observe que:

✓ Para os arcos de 90°, 270° e seus côngruos, não existe (símbolo não existe) valor da tangente; 

✓ Não existem pontos de máximos e mínimos;

✓ O conjunto imagem da função será igual ao seu contra domínio (ℜ) ,por isso, a função é sobrejetiva; 

✓ Valores distintos de x estão associados à uma mesma imagem, como por exemplo, f(0)=f(2π)=0. Assim, a função não é injetiva;

✓ O período (variação do x necessária para completar 1 ciclo) da função é π;

 

 

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